Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數與函數的零點情況；

（2）若，對任意恒成立，求實數的取值范圍.

注：.

Answer 1

【答案】（1）當時，不存在零點；當時，有一個零點為，當時, 不存在零點，當時，不存在零點，當且時，有一個零點為；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據對數函數的單調性與值域可得當時，不存在零點；當時， 函數有且僅有一個零點，根據冪函數的性質可得當時, 不存在零點，當時，不存在零點，當且時，有一個零點；（2）當，函數在區間上單調遞增.又，符合題意；當時，存在，使，不合題意，綜合兩種情況可得結果.

試題解析：（1）函數，

當時，不存在零點；當時，

所以函數有且僅有一個零點為.

函數.

當時,不存在零點；

當時，，且函數的定義域是，此時函數不存在零點；

當且時，令，得，得，此時函數有且僅有一個零點為.

（2）若，則，.

令，得，則函數的定義域是；

令，得，則函數的定義域是.

因為對任意恒成立，

所以對任意恒成立.

令，則對任意恒成立.

.

討論：當，即時，且不恒為0，

所以函數在區間上單調遞增.

又，

所以對任意恒成立.故符合題意；

當時，令，得.

令，得，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以.又，所以當時，存在，使.

故知對任意不恒成立.故不符合題意.

綜上，實數的取值范圍是.