Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，若橢圓上一點滿足，過點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作軸的垂線，交橢圓于，求證：存在實數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，由得到a=2,再把點 的坐標代入橢圓方程，解方程組即得橢圓的方程.(2)第(2)問，設的方程為.

設點，，再求出NG的方程，證明直線過點，即可證明

存在實數(shù)，使得.

試題解析：

(1)依題意，，故.

將代入橢圓中，解得，

故橢圓的方程為：.

（2）由題知直線的斜率必存在，設的方程為.

設點，，則，

聯(lián)立，得.

即，

則，，

由題可得直線方程為，

又∵，.

∴直線方程為，

令，整理得

，

即直線過點.

又∵橢圓的右焦點坐標為，

∴三點，，在同一直線上.

∴ 存在實數(shù)，使得 .