Question

【題目】數列： 滿足： ．記的前項和為，并規定．定義集合， ， ．

（Ⅰ）對數列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數．對所有滿足的數列，求集合的元素個數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）根據題中所給的定義，即可求出結果；（Ⅱ）根據所給的條件，由集合的定義知，再結合，可推出；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，進一步求出關系，即集合的最小值．

（Ⅰ）因為， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定義知，且是使得成立的最小的k，

所以．

又因為 ，所以所以．

（Ⅲ）因為，所以非空．

設集合，不妨設，則由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以 ．

因為，所以的元素個數．

取常數數列： ，并令，則，適合題意，且，其元素個數恰為．

綜上， 的元素個數的最小值為．