Question

【題目】已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為C、D，且過點(diǎn)，P是橢圓上異于C、D的任意一點(diǎn)，直線PC，PD的斜率之積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線CP交定直線x = m于點(diǎn)M，當(dāng)m為何值時(shí)，為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)設(shè),根據(jù)題意可求得,再代入橢圓方程即可求解.

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論, 設(shè)直線,并聯(lián)立與橢圓的方程,求得,,再表達(dá)出,根據(jù)恒成立問題求得系數(shù)的關(guān)系即可.也可直接設(shè)表達(dá)出,利用滿足橢圓的方程進(jìn)行化簡,同理可得m的值.

解：（1）橢圓過點(diǎn),∴,①

又因?yàn)橹本�的斜率之積為,故.

又.即,②

聯(lián)立①②得．

∴所求的橢圓方程為．

（2）方法1：由（1）知,．由題意可設(shè),

令x=m,得．又設(shè)

由整理得：．

∵,∴,,

所以,

∴,

要使與k無關(guān),只需,此時(shí)恒等于4.

∴

方法2：:設(shè),則,令x=m,得,

∴

由有,

所以,

要使與無關(guān),只須,此時(shí).

∴