Question

【題目】在四棱錐中，為正三角形，平面平面，E為的中點，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點M，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在點M滿足題意，．

【解析】

（Ⅰ）根據面面垂直的性質定理可證得平面，由面面垂直的判定定理證得結論；

（Ⅱ）取中點，可證得兩兩互相垂直，由此以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據線面角的向量求法可求得結果；

（Ⅲ）假設存在點滿足題意，由線面垂直的性質可知，，由此得到，解出后即可得到結果.

（Ⅰ），，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，又平面，平面平面.

（Ⅱ）取中點，連接，

分別為中點，，平面；

為等邊三角形，為中點，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，

則以為坐標原點，所在直線為軸，可建立如下圖所示空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

設平面的法向量，

則，令，則，，，

設直線與平面所成角為，.

即直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）假設在棱上存在點，使得平面，則，，

設，又，，

，，

，解得：，即，

在棱上存在點，使得平面，此時.