Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，總有，求的最小值；

（2）對于中任意恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）令，求，分和，討論的單調性，得到的最小值；

（2）令，易知當時，恒成立；然后再證明時，不恒成立，即得的取值范圍.

（1）令，

則，

在上單調遞增，且

若，則在上單調遞增，，即滿足條件；

若存在單調遞減區間，又，

所以存在使得與已知條件矛盾，所以，的最小值為1.

（2）由（1）知，如果，則必有成立.

令，

則，即.

若，必有恒成立，

故當時，恒成立，

下面證明時，不恒成立.

令，，

當時，，在區間上單調遞增

故，即，故.

，

令，，

所以在上單調遞增，又，則一定存在區間 （其中），

當時，，

則，故不恒成立.

綜上所述：實數取值范圍是.