Question

【題目】已知橢圓C： ，左焦點 ，且離心率 （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵橢圓C： ， 左焦點 ，且離心率 ，
∴c= ， ，
∴a=2，b2=4﹣3=1，
∴橢圓C的方程 ．
（Ⅱ）證明：設M（x1 ， y1） N（x2 ， y2），
右頂點A（2，0）
，
∵以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A，
∴（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km﹣2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入橢圓方程 ，
得 +（kx+m）2=1，
整理，得（ +k2）x2+2kmx+m2﹣1=0，
所以x1x2= ，x1+x2=﹣ ，②
把②入①，得
4+（km﹣2）（﹣ ）+（1+k2） +m2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+ k=0
當m+2k=0時，直線y=kx﹣2k恒過點（2，0）和A點重合顯然不符合
當m+ k=0時 直線恒過點（ ，0）符合題意
所以該定點坐標就是（ ，0）
【解析】（I）由題設知c= ， ，由此能求出橢圓C的方程．（II）設M（x1 ， y1） N（x2 ， y2），右頂點A（2，0）， ，由以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A，知（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 ， 知4+（km﹣2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0．把y=kx+m代入橢圓方程 ，得（ +k2）x2+2kmx+m2﹣1=0，再由韋達定理結合題設條件能求出該定點坐標．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．