Question

【題目】橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左焦點到點P（2，1）的距離為 ． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵左焦點（﹣c，0）到點P（2，1）的距離為 ，∴ ，解得c=1． 又 ，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．
∴所求橢圓C的方程為： ．
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2＞m2 ．
∴ ， ．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= = ．
∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），kADkBD=﹣1，∴ ，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴ ．
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k， ．
， 且滿足3+4k2﹣m2＞0．
當m=﹣2k時，l：y=k（x﹣2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當m=﹣ 時，l：y=k ，直線過定點 ．
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為
【解析】（Ⅰ）利用兩點間的距離公式可得c，再利用橢圓的標準方程及其性質即可得出a，b；（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D，可得kADkBD=﹣1，即可得出m與k的關系，從而得出答案．