Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中點．
（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意知BC⊥CC1 ， BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1 ， 又DC1平面ACC1A1 ，
∴DC1⊥BC．
由題設知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1 ，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）設棱錐B﹣DACC1的體積為V1 ， AC=1，由題意得V1= × ×1×1= ，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：1．
【解析】（Ⅰ）由題意易證DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可證得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）設棱錐B﹣DACC1的體積為V1 ， AC=1，易求V1= × ×1×1= ，三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，從而可得答案．
【考點精析】本題主要考查了棱柱的結構特征和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．