Question

【題目】設函數f（x）=ax2﹣（a+1）x+1．
（1）若不等式f（x）＜mx的解集為{x|1＜x＜2}，求實數a、m的值；
（2）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，

∴不等式f（x）＜mx等價于ax2﹣（a+m+1）x+1＜0，

依題意知不等式ax2﹣（a+m+1）x+1＜0的解集為{x|1＜x＜2}，

∴a＞0且1和2為方程ax2﹣（a+m+1）x+1=0的兩根，

∴ ，

解得 ，

∴實數a、m的值分別為a=1、m=0

（2）解：不等式f（x）＜0可化為（ax﹣1）（x﹣1）＜0，

（ⅰ）當a=0時，不等式f（x）＜0等價于﹣x+1＜0，解得x＞1，

故原不等式的解集為{x|x＞1}，

（ⅱ）當a＞0時，不等式f（x）＜0等價于 ，

①當0＜a＜1時 ，不等式 的解集為 ，

即原不等式的解集為 ，

②當a=1時，不等式 的解集為φ，

即原不等式的解集為φ，

③當a＞1時 ，不等式 的解集為 ，

即原不等式的解集為 ，

（ⅲ）當a＜0時，不等式f（x）＜0等價于 ，

∵a＜0，

∴ ，

∴不等式 的解集為{x|x＜ 或x＞1}，

即原不等式的解集為{x|x＜ 或x＞1}，

綜上所述，當a＞1時不等式f（x）＜0的解集為 ，

當a=1時不等式f（x）＜0的解集為φ，

當0＜a＜1時不等式f（x）＜0的解集為 ，

當a=0時不等式f（x）＜0的解集為{x|x＞1}，

當a＜0時不等式f（x）＜0的解集為為{x|x＜ 或x＞1}

【解析】（1）根據一元二次不等式的解集，利用根與系數的關系，即可求出實數a、m的值；（2）不等式化為（ax﹣1）（x﹣1）＜0，討論a=0和a＞0、a＜0時，求出不等式f（x）＜0的解集即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，以及對解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊．