Question

【題目】在三棱錐S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC= ，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是 ．

Answer 1

【答案】6π
【解析】解：如圖所示：
取AC中點D，連接SD，BD，則由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB為S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．
由題意：AB⊥BC，AB=BC= ，易得：△ABC為等腰直角三角形，且AC=2，
又∵BD⊥AC，故BD=AD= AC，
在△SBD中，BD= = =1，
在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SDBDcos∠SDB=3+1﹣2× =2，
滿足SB2=SD2﹣BD2 ， ∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC為頂點可以補成一個棱長為 的正方體，S、A、B、C都在正方體的外接球上，
正方體的對角線為球的一條直徑，所以2R= ，R= ，球的表面積S=4 =6π．
所以答案是：6π．

【考點精析】本題主要考查了球內接多面體的相關知識點，需要掌握球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題．