新課程能力培養九年級數學北師大版
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21. 如圖，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，點D，E在直線BC上運動。設$BD = x$，$CE = y$。
（1）如果$\angle BAC = 30°$，$\angle DAE = 105°$，試確定$y$與$x$之間的函數關系式。
（2）如果$\angle BAC=\alpha$，$\angle DAE=\beta$，當$\alpha$，$\beta$滿足怎樣的關系時，（1）中$y$與$x$之間的函數關系式還成立？試說明理由。
答：（1）
$y=\frac{1}{x}$
；（2）
$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$
。
答案：（1）$\angle ABC=\angle ACB=75°$，$\angle DAB + \angle CAE=75°$，$\angle ADB=180° - \angle ABD - \angle DAB=180° - 105° - \angle DAB=75° - \angle DAB=\angle CAE$，$\triangle ADB\sim\triangle EAC$，$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CE}$，$\frac{x}{1}=\frac{1}{y}$，$y=\frac{1}{x}$。
（2）$\beta - \frac{\alpha}{2}=90°$時成立。理由：$\angle ABC=90° - \frac{\alpha}{2}$，$\angle ADB=180° - (90° + \frac{\alpha}{2}) - \angle DAB=90° - \frac{\alpha}{2} - \angle DAB$，$\angle CAE=\beta - \alpha - \angle DAB$，當$\beta - \alpha=90° - \frac{\alpha}{2}$，即$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$時，$\angle ADB=\angle CAE$，$\triangle ADB\sim\triangle EAC$，$y=\frac{1}{x}$。
答：（1）$y=\frac{1}{x}$；（2）$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$。
22. 如圖1，已知$y = \frac{6}{x}(x＞0)$的圖象上一點P，$PA\perp x$軸于點$A(a,0)$，點B坐標為$(0,b)(b＞0)$，動點M是y軸正半軸上點B上方的點，動點N在射線AP上，過點B作$AB\perp BQ$，交直線MN于點Q，交射線AP于點D，連接AQ，取AQ的中點C。
（1）如圖2，連接BP，求$\triangle PAB$的面積。
（2）當點Q在線段BD上時，若四邊形BCNQ是菱形，面積為$2\sqrt{3}$，求此時點P的坐標。
（3）當點Q在射線BD上時，且$a = 3$，$b = 1$，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長。
答案：（1）$P(a,\frac{6}{a})$，$S_{\triangle PAB}=S_{矩形OAPB}-S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}×a×\frac{6}{a}=3$。
（2）設$a = \sqrt{3}$，$P(\sqrt{3},\frac{6}{\sqrt{3}})=(\sqrt{3},2\sqrt{3})$（過程略，根據菱形性質及面積求得）。
（3）$a=3$，$P(3,2)$，$B(0,1)$，$AB$斜率$-\frac{1}{3}$，$BQ$斜率3，直線$BQ:y = 3x + 1$，D(3,10)，設Q(3m,9m + 1)，C為AQ中點，根據平行四邊形性質求得周長為8或$4\sqrt{13}$。
答：（1）3；（2）$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$；（3）8或$4\sqrt{13}$。
