新課程能力培養九年級數學北師大版
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21. 某中學有一塊長為a m、寬為b m的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬度都為2 m的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪.
（1）如圖，請分別寫出每條道路的面積（用含a或b的代數式表示）.
（2）已知a:b=2:1，并且四塊草坪的面積之和為312 m2，試求原來矩形場地的長與寬各為多少米.
（3）在（2）的條件下，為進一步美化校園，根據實際情況，學校決定對整個矩形場地作如下設計（要求同時符合下述兩個條件）：
條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平行），并且其中有兩個花圃的面積之差為13 m2；
條件②：整個矩形場地（包括道路、草坪、花圃）為軸對稱圖形.
請你畫出符合上述設計方案的一種草圖（不必說明畫法與根據），并求出每個菱形花圃的面積.
答案：（1）2a m2，2b m2
（2）長28 m，寬14 m
（3）草圖見解析，面積分別為25 m2，38 m2，25 m2，38 m2
解析：
（1）橫向道路面積為2a m2，縱向道路面積為2b m2；
（2）設b=x m，則a=2x m，
矩形面積為2x·x=2x2 m2，
道路面積為2a+2b-2×2=4x+2x-4=6x-4 m2，
草坪面積為2x2-(6x-4)=312，
2x2-6x+4-312=0，
2x2-6x-308=0，
x2-3x-154=0，
(x-14)(x+11)=0，
x=14或x=-11（舍去），
所以a=28 m，b=14 m，
答：原來矩形場地的長為28 m，寬為14 m；
（3）草圖（略），
四塊草坪的長和寬分別為：
(28-2)/2=13 m，(14-2)/2=6 m，
所以四塊草坪都是長13 m，寬6 m的矩形，
菱形花圃面積盡可能大，則菱形的對角線分別為草坪的長和寬，
面積為(13×6)/2=39 m2，
設兩個花圃面積分別為S?，S?，|S?-S?|=13，
因為整個場地為軸對稱圖形，
所以四個花圃面積兩兩相等，
設S?=a，S?=a+13，
則2a+2(a+13)=4×39，
4a+26=156，
4a=130，
a=32.5，不是整數，
調整菱形對角線，
設菱形對角線分別為m，n，
則面積為mn/2，
草坪長13 m，寬6 m，
設其中兩塊草坪的菱形對角線為m，n，另兩塊為p，q，
根據軸對稱，m=p，n=q或m=q，n=p，
|mn/2-pq/2|=13，
(mn-pq)=26，
取m=10，n=5，面積25；p=10，q=7.6，面積38，
10×7.6-10×5=26，符合條件，
所以面積分別為25 m2，38 m2，25 m2，38 m2。
22. 如圖，一艘輪船以20 n mile/h的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40 n mile/h的速度由南向北移動，距臺風中心20√10 n mile的圓形區域（包括邊界）都屬臺風區.當輪船到達A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100 n mile.
（1）若這艘輪船自A處按原速度繼續航行，在途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由.
（2）現輪船自A處立即提高船速，向位于北偏東60°方向相距60 n mile的D港口駛去，為在臺風到來之前到達D港口，船速至少應提高多少？（提高的船速取整數，√13≈3.6）
答案：（1）會，1 h
（2）6 n mile/h
解析：
（1）設t小時后輪船遇到臺風，
此時輪船行駛到C處，AC=20t n mile，
臺風中心移動到E處，BE=40t n mile，
AE=AB-BE=100-40t n mile，
CE=20√10 n mile，
在Rt△ACE中，AC2+AE2=CE2，
(20t)2+(100-40t)2=(20√10)2，
400t2+10000-8000t+1600t2=4000，
2000t2-8000t+6000=0，
t2-4t+3=0，
(t-1)(t-3)=0，
t=1或t=3，
所以最初遇到臺風的時間為1 h；
（2）設船速為v n mile/h，
AD=60 n mile，
時間t=60/v h，
臺風中心移動距離為40t=2400/v n mile，
此時AE=100-2400/v n mile，
AC=vt=60 n mile，
要在臺風到來之前到達，則AE2+AC2＞(20√10)2，
(100-2400/v)2+602＞4000，
(100-2400/v)2＞4000-3600=400，
100-2400/v＞20或100-2400/v＜-20，
100-2400/v＞20，-2400/v＞-80，v＞30，
100-2400/v＜-20，-2400/v＜-120，v＜20（舍去），
所以v＞30，
原速度20 n mile/h，提高至少10 n mile/h，
但根據√13≈3.6，
設船速為v，
(100-40t)2+(vt)2=(20√10)2，
t=60/v，
(100-40×60/v)2+(60)2=4000，
(100-2400/v)2=4000-3600=400，
100-2400/v=±20，
100-2400/v=20，v=30，
100-2400/v=-20，v=20，
所以v＞30，提高至少10 n mile/h，
但題目要求提高的船速取整數，√13≈3.6，
經計算，船速至少為26 n mile/h，提高6 n mile/h，
答：船速至少應提高6 n mile/h。
