Question

【題目】問題：如圖（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，試探究AD、DE、EB滿足的等量關系．
[探究發現]
小聰同學利用圖形變換，將△CAD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，連接EH，由已知條件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．
根據“邊角邊”，可證△CEH≌　　 ， 得EH=ED．
在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2 ， 由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是　　　　　．
[實踐運用]
（1）如圖（2），在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數；
（2）在（1）條件下，連接BD，分別交AE、AF于點M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，運用小聰同學探究的結論，求正方形的邊長及MN的長．

Answer 1

【答案】解：根據“邊角邊”，可證△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH2+EB2=EH2 ， 由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是AD2+EB2=DE2；故答案為：△CDE；勾股；AD2+EB2=DE2；
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=2，DF=FG=3，則EF=5，
設AG=x，則CE=x﹣2，CF=x﹣3，
∵CE2+CF2=EF2 ，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52 ，
解這個方程，得x1=6，x2=﹣1（舍去），
∴AG=6，
∴BD= ，
∴AB=6，
∵MN2=MB2+ND2
設MN=a，則 ，
所以a=，
即MN=．
【解析】（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定方法證明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性質即可求出∠EAF=∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，設AG=x，則CE=x﹣2，CF=x﹣3．因為CE2+CF2=EF2 ， 所以（x﹣2）2+（x﹣3）2=52 ． 解這個方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN2=MB2+ND2 ， MN=a， ， 所以a=．即MN=．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．