Question

【題目】如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F

（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交⊙O于點G，若AB=4，求線段CE、CG與圍成的陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=BC，

又∵AC=CD，

∴AC=BC=CD，

∴△ABD為直角三角形，

∴AB⊥AD，

∵AB為直徑，

∴AD是⊙O的切線；

（2）

解：連接OE，

∵OA=OE，∠BAC=60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴∠AOE=60°，

∵CB=BA，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠AOC=90°，

∴∠EOC=30°，

∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，

∴AO=2，由勾股定理得：OC==2，

同理等邊三角形AOE邊AO上高是=，

S陰影=S△AOC﹣S等邊△AOE﹣S扇形EOG==．

【解析】（1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，即可求出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．