Question

【題目】如圖，在等腰梯形中，，對角線于點，點在軸上，點、在軸上．

若，，求點的坐標；

若，，求過點的反比例函數的解析式；

如圖，在上有一點，連接，過作交于，交于，在上取，過作交于，交于，當在上運動時，（不與、重合），的值是否發生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出其值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）：；（3）.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質知：AD＝BC，在Rt△AOD中，已知AD，OA的長，可將OD的長求出，從而可知點D的坐標；

（2）作輔助線，作BH⊥DE于H，過B點作BE∥AC交x軸于點E，則四邊形ABEC為平行四邊形，AB＝CE，BE＝AC，由AC⊥BD，可得：BD⊥BE，故在Rt△BDE中，由斜邊DE的長可知：BH的長，在Rt△BHC中，運用勾股定理可將CH的長求出，進而可將OH的長求出，知點B的坐標，從而可求出求過B點的反比例函數的解析式；

（3）作輔助線，過點D作DN∥PC交PE的延長線于點M，交HF的延長線于點N，過點M作MI∥EF交BN于點I，易證四邊形EFIM和四邊形MNHP是平行四邊形，從而可證：△EDM≌△IMN，DM＝MN，進而可證：△PDM≌△CPQ，DM＝PQ＝PH，故：＝1，為定值．

在等腰梯形中，，

又∵，

∴，

∴，

∴；

作于，過點作交軸于點，

∵，，

∴是平行四邊形，

∴，，

又∵為等腰梯形，

∴，

∴，

而，，

∴，

∵，

∴為的中點，即為直角三角形斜邊上的中線，

∴

∵

∴

∴

∴

∴過點的反比例函數的解析式為：；

過點作交的延長線于點，交的延長線于點，過點作交于點，

易證四邊形和四邊形是平行四邊形，

∴，，

又∵，，

∴，

∴，

∵，，

∴，.

由知：，而，

∴，

∴，

∴，

∴