Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)B，對稱軸是x=2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）P的坐標(biāo)為：（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），對稱軸是x=2列出方程組，解方程組求出b、c的值即可；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x=2對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接BC與x=2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，求出直線BC與x=2的交點(diǎn)即可．

解：（1）由題意得，，

解得b=4，c=3，

∴拋物線的解析式為．y=x2﹣4x+3；

（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x=2對稱，

∴連接BC與x=2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

y=x2﹣4x+3與y軸的交點(diǎn)為（0，3），

∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

，

解得，k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，

則直線BC與x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1）．