Question

【題目】如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.

（1）求證：△ACE≌△ACF；

（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8

【解析】

（1）由角平分線的定義及所給條件利用AAS可證明△ACE≌△ACF；
（2）結合（1）中的全等可證明Rt△CDF≌Rt△CEB，可得DF=BE，再由AE-AF，可證得DF=BE，利用線段和差可求得BE、AE，在Rt△BCE中可求得CE，則可求得CF．

（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F,

∴∠BAC=∠CAD, ∠AFC=∠AEC=90°

在△ACE和△ACF 中，

∵∠BAC=∠CAD, ∠AFC=∠AEC，AC=AC,

∴△ACE≌△ACF （AAS）．

（2）由（1）知：∠AFC=∠AEC=90°，△ACE≌△ACF，

∴∠AFC=∠BEC=90°,CE=CF，AF=AE,

又∵CD=CB,

∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），

∴DF=EB，

∴AD+DF=AF=AE=AB-EB，

∵AB=21，AD=9，

∴9+DF=21-EB，

∴EB=DF=6， AE=15,

在Rt△ACE中，

∴CF=CE=8．