Question

【題目】如圖，點E為矩形ABCD的邊BC的中點，以DE為直徑的⊙O交AD于H點，過點H作HF⊥AE于點F．
（1）求證：HF是⊙O的切線；
（2）若DH=3，AF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OH，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=BA，∠C=∠B=90°，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∴△CDE≌△BAE（SAS），

∴ED=EA，

∴∠EDA=∠EAD，

∵OD=OH，

∴∠EDA=∠OHD，

∴∠EAD=∠OHD，

∴OH∥AE，

∵HF⊥AE，

∴HF⊥OH，

∵點H為⊙O上，OH為⊙O的半徑，

∴HF是⊙O的切線

（2）解：連接EH，

∵DE是⊙O的直徑，

∴∠DHE=90°，

∵∠C=∠B=90°，

∴四邊形HECD是矩形，

∴CE=DH，

同理：BE=AH，

∵CE=BE，

∴DH=AH=3，

∵CB∥AD，

∴∠BEA=∠EAD，

∵∠HFA=∠B=90°，

∴△FHA∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴AE= ，

∴OD= DE= AE= × = ，

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）連接半徑OH，證明HF⊥OH即可；（2）連接EH，證明四邊形HECD是矩形，則CE=DH，同理：BE=AH，再證明△FHA∽△BAE，列比例式為： ，求AE的長，由（1）知：DE=AE，且DE是直徑，由此可得半徑的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．