Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸正半軸交于點C，tan∠CAB= ．

（1）求拋物線的解析式并驗證點Q（﹣1，3）是否在拋物線上；
（2）點M是線段AC上一動點（不與A，C重合），過點M作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于點N，試判斷當MN為最大值時，以MN為直徑的圓與y軸的位置關系并說明理由；
（3）已知過點B的直線y=x﹣1交拋物線于另一點E，問：在x軸上是否存在點P，使以點P，A，Q為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，請求出所有符合要求的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△AOC中，∠COA=90°，AO=4，tan∠CAB= ，

∴OC=2．

∴C（0，2）．

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），將點C的坐標代入得：﹣4a=2，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ ×（x2+3x﹣4），即y=﹣ x2﹣ x+2．

當x=1時，y=﹣ ×（﹣1）2﹣ ×（﹣1）+2=3．

∴點Q（﹣1，3）在拋物線上

（2）

解：如圖1所示：

設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A、C的坐標代入得： ，

解得：k= ，b=2．

∴直線AC的解析式為y= x+2．

設點M的坐標為（m， m+2），則點N（m，﹣ m2﹣ m+2）．

∴MN=﹣ m2﹣ m+2﹣（ m+2）=﹣ （m+2）2+2．

∴當m=﹣2時，MN的最大值為2．

∴以MN為直徑的圓的半徑為1．

又∵以MN為直徑的圓的圓心到y軸的距離為2，

∴以MN為直徑的圓與y軸相離

（3）

解：如圖2所示：過點E作ED⊥x軸，垂足為D，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F．

將y=x﹣1與y=﹣ x2﹣ x+2聯立，解得：x=﹣6，y=﹣7或x=1，y=0，

∴點E的坐標為（﹣6，﹣7）．

∴BD=ED=7．

又∵∠EDB=90°

∴∠EBD=45°．

同理∠QAF=45°．

∴∠EBD=∠QAF=45°．

∴∠QAD=135°，90°＜∠EAB＜135°．

∴點P只能在點A的右側．

依據兩點間的距離公式可知：EB=7 ，AQ=3 ，AB=5．

當△QAP′∽△ABE時，則 ，即 = ，解得AP′= ，

∴OP′= ﹣4= ．

當，△AQP∽△BEA時，則 ，即 ，解得：AP= ，

∴OP=5﹣ = ．

∴點P的坐標為：（ ，0）或（﹣ ，0）

【解析】（1）依據銳角三角函數的定義可求得OC=2，從而得到點C（0，2），設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），將點C的坐標代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后依據點Q的坐標是否符合拋物線的解析式可知點Q是否在拋物線上；（2）先求得直線AC的解析式，設點M的坐標為（m， m+2），則點N（m，﹣ m2﹣ m+2），然后列出MN的長度與m的函數的關系式，利用配方法可求得MN的最大值以及此時m的值，然后依據d和r的關系可判定出以MN為直徑的圓與y軸的位置關系；（3）過點E作ED⊥x軸，垂足為D，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F．先求得點E的坐標，然后可證明△DBE和△AQF均為等腰直角三角形，故此在△BAE和△AQP中，∠QAP=∠ABE，然后依據兩點間的距離公式求得EB、AQ，AB的長，然后分為△QAP′∽△ABE、△AQP∽△BEA兩種情況求解即可．