Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y= x與反比例函數(shù)y= 在第一象限內的圖象相交于點A（m，3）．

（1）求該反比例函數(shù)的關系式；
（2）將直線y= x沿y軸向上平移8個單位后與反比例函數(shù)在第一象限內的圖象相交于點B，連接AB，這時恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；

（3）在（2）的條件下，在射線OA上存在一點P，使△PAB∽△BAO，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（m，3）在直線y= x上

∴3= m，

∴m=3 ，

∴點A（3 ，3），

∵點A（3 ，3）在反比例函數(shù)y= 上，

∴k=3 ×3=9 ，

∴y=

（2）

解：直線向上平移8個單位后表達式為：y= x+8

∵AB⊥OA，直線AB過點A（3 ，3）

∴直線AB解析式：y=﹣ x+12，

∴ x+8=﹣ x+12，

∴x= ．

∴B（ ，9），

∴AB=4

在Rt△AOB中，OA=6，

∴tan∠AOB=

（3）

解：∵△APB∽△ABO，

∴ ，

由（2）知，AB=4 ，OA=6

即

∴AP=8，

∵OA=6，

∴OP=14，

過點A作AH⊥x軸于H

∵A（3 ，3），

∴OH=3 ，AH=3，

在Rt△AOH中，

∴tan∠AOH= = = ，

∴∠AOH=30°

過點P作PG⊥x軸于G，

在Rt△APG中，∠POG=30°，OP=14，

∴PG=7，OG=7

∴P（7 ，7）．

【解析】（1）先確定出點A坐標，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；（2）先求出直線AB解析式，進而得出點B坐標秒即可得出結論；（3）利用相似三角形的性質得出AP，進而求出OP，再求出∠AOH=30°，最后用含30°的直角三角形的性質即可得出結論．