Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+3x與x軸的正半軸交于點A，點B在拋物線上，且橫坐標為2，作BC⊥x軸于點C，⊙B經過原點O，點E為⊙B上一動點，點F在AE上．

（1）求點A的坐標；
（2）如圖1，連結OE，當AF：FE=1：2時，求證：△ACF∽△AOE；
（3）如圖2，當點F是AE的中點時，求CF的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則﹣x2+3x=0，

解得x1=0，x2=3，

則A（3，0）

（2）解：如圖1，

當x=2時，y=﹣22+3×2=2，

∴B（2，2）．

∵BC⊥OA，

∴OC=2，AC=OA﹣OC=1．

∵AF：FE=1：2，

∴ = = ．

∵∠CAF=∠OAE，

∴△ACF∽△AOE

（3）解：取OC的中點D，連接DE，BD，BE，BO，如圖2，

則有OD=DC=1，BD= = ，BE=BO= =2

根據兩點之間線段最短可得：

DE≤BD+BE= +2 ．

∵AC=DC=1，AF=EF，

∴CF= DE≤ ，

∴CF的最大值為 ．

【解析】（1）只需令y=0，就可求出點A的坐標；（2）由于∠CAF=∠OAE，要證△ACF∽△AOE，只需證 = ，只需求出點B的坐標就可解決問題；（3）由點F是AE的中點，聯想到三角形中位線定理，取OC的中點D，連接DE，BD，BE，BO，如圖2，則有CF= DE，要求CF的最大值，只需求DE的最大值，只需運用兩點之間線段最短就可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用線段的基本性質和勾股定理的概念，掌握線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短．也可簡單說成：兩點之間線段最短；連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離；線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．