Question

【題目】問題：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點D是AB邊上任意一點，連結CD，在CD的上測作以CD為底邊，α為底角的等腰△CDE，連結AE，試探究BD與AE的數量關系．
（1）嘗試探究如圖1，當α=60°時，小聰同學猜想有BD=AE，以下是他的思路呈現．請你根據他的思路把這個證明過程完整地表達出來；


（2）特例再探如圖2，當α=45°時，請你判斷線段BD與AE之間的數量關系，并進行證明；

（3）問題解決如圖3，當α為任意銳角時，請直接寫出線段BD與AE的數量關系是 ． （用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

【答案】
（1）

解：BD=AE；∵∠BCA=60°，∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BDC與△AEC中， ，

∴△BDC≌△AEC，

∴BD=AE

（2）

解：BD= AE；理由如下：

過點D作DF∥AC，交BC于F．

∵DF∥AC，

∴∠ABC=∠DFB．

∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，

∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．

∴△DFB是等腰直角三角形

∴BD=DF= BF．

∵AE∥BC，

∴∠ABC+∠BAE=180°．

∵∠DFB+∠DFC=180°

∴∠BAE=∠DFC．

∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，

∴∠ADE=∠BCD．

∴△ADE∽△FCD．

∴ = ．

∵DF∥AC，

∴ = ．

∴ = = ，

∴BD= AE

（3）BD=2cosα?AE
【解析】解（3）∵∠ABC=∠ACB=∠EDC=∠ECD=α，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BCD，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四點共圓，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴ = ，
又∵ =cosα，
∴BD=2cosαAE．
所以答案是：BD=2cosαAE．