Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．[圖2、圖3為解答備用圖]

（1）k= ， 點A的坐標為 ， 點B的坐標為；
（2）設拋物線y=x2﹣2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）-3；（﹣1，0）；（3，0）
（2）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點為M（1，﹣4），連接OM．

則△AOC的面積= ，△MOC的面積= ，

△MOB的面積=6，

∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．

說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面

積轉化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和

（3）

解：如圖（2），設D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD．

則0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0

且△AOC的面積= ，△DOC的面積= m，

△DOB的面積=﹣ （m2﹣2m﹣3），

∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積

=﹣ m2+ m+6

=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∴存在點D（ ， ），使四邊形ABDC的面積最大為

（4）

解：有兩種情況：

如圖（3），過點B作BQ1⊥BC，交拋物線于點Q1、交y軸于點E，連接Q1C．

∵∠CBO=45°，

∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴點E的坐標為（0，3）．

∴直線BE的解析式為y=﹣x+3．

由

解得

∴點Q1的坐標為（﹣2，5）．

如圖（4），過點C作CF⊥CB，交拋物線于點Q2、交x軸于點F，連接BQ2．

∵∠CBO=45°，

∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴點F的坐標為（﹣3，0）．

∴直線CF的解析式為y=﹣x﹣3．

由

解得

∴點Q2的坐標為（1，﹣4）．

綜上，在拋物線上存在點Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．

說明：如圖（4），點Q2即拋物線頂點M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．

【解析】解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3，
令y=0，
即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．