Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連接CD、QC．
（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB= = =10，

∴cos∠BAO= = ，sin∠BAO= = ．

∵AC為⊙P的直徑，

∴△ACD為直角三角形．

∴AD=ACcos∠BAO=2t× = t．

當點Q與點D重合時，OQ+AD=OA，

即：t+ t=8，

解得：t= ．

∴t= （秒）時，點Q與點D重合

（2）解：在Rt△ACD中，CD=ACsin∠BAO=2t× = t．

①當0＜t≤ 時，

DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣ t=8﹣ t．

∴S= DQCD= （8﹣ t） t=﹣ t2+ t．

∵﹣ = ，0＜ ＜ ，

∴當t= 時，S有最大值為 ；

②當 ＜t≤5時，

DQ=OQ+AD﹣OA=t+ t﹣8= t﹣8．

∴S= DQCD= （ t﹣8） t= t2﹣ t．

∵﹣ = ， ＜ ，所以S隨t的增大而增大，

∴當t=5時，S有最大值為15＞ ．

綜上所述，S的最大值為15

（3）解：當CQ與⊙P相切時，有CQ⊥AB，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，

∴△ACQ∽△AOB，

∴ = ，

即 = ，

解得t= ．

所以，⊙P與線段QC只有一個交點，t的取值范圍為0＜t≤ 或 ＜t≤5

【解析】（1）根據點A、B的坐標求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據點Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長，然后分點Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答；（3）有兩個時段內⊙P與線段QC只有一個交點：①運動開始至QC與⊙P相切時（0＜t≤ ）；②重合分離后至運動結束（ ＜t≤5）．