Question

【題目】如圖，O在等邊△ABC內，∠AOB=100°，∠BOC=x，將△BOC繞點C順時針旋轉60°，得△ADC，連接OD．

（1）△COD的形狀是　 　；

（2）當x=150°時，△AOD的形狀是　 　；此時若OB=3，OC=5，求OA的長；

（3）當x為多少度時，△AOD為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）直角三角形，OA=；（3）x=100°，x=130°，x=160°時，△AOD為等腰三角形．

【解析】

（1）由旋轉的性質得出CO=CD、∠OCD=60°即可知△COD是等邊三角形；
（2）由旋轉可以得出OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等邊三角形，就可以得出∠ODC=60°，從而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形狀；最后用勾股定理即可求出OA；
（3）由條件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，當∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA時分別求出a的值即可．

解：（1）△COD是等邊三角形，

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°

∴CO=CD

∴△COD是等邊三角形．

故答案為：等邊三角形；

（2）當α=150°時，△AOD是直角三角形．

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC=150°

由（1）△COD是等邊三角形

∴∠ODC=60°

∴∠ADO=150°﹣60°=90°

當α=150°時，△AOD是直角三角形．

由旋轉知，AD=OB=3，

∵△COD是等邊三角形，

∴OD=OC=3，

在Rt△AOD中，根據勾股定理得，OA== ；

故答案為：直角三角形；

（3）∵∠AOB=100°，∠BOC=x，

∴∠AOC=260°﹣x．

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠DOC=∠ODC=60°，

∴∠ADO=x﹣60°，∠AOD=200°﹣x，

①當∠DAO=∠DOA時，

2（200°﹣x）+x﹣60°=180°，

解得：x=160°

②當∠AOD=ADO時，

200°﹣x=x﹣60°，

解得：x=130°，

③當∠OAD=∠ODA時，

200°﹣x+2（x﹣60°）=180°，

解得：x=100°

∴x=100°，x=130°，x=160°△AOD為等腰三角形．