Question

【題目】如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B（2，0），∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為 ．在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是O′B′．
（1）當點O′與點A重合時，點P的坐標是；
（2）設P（t，0），當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）
（2）4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4
【解析】解：（1.）當點O′與點A重合時
∵∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后是O′B′．
AP=OP，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點P的坐標是（4，0），
故答案為：（4，0）．
（2.）由（1）知，當P的坐標是（4，0）時，直線OB與雙曲線有交點O′，
當B′在雙曲線上時，作B′C⊥OP于C，

∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等邊三角形，
∴BP=B′P=t﹣2，
∴CP= （t﹣2），B′C= （t﹣2），
∴OC=OP﹣CP= t+1，
∴B′的坐標是（ t+1， （t﹣2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2 ，
∴A（2，2 ），
∵A和B′都在雙曲線上，
∴（ t+1） （t﹣2））=2×2 ，
解得：t=±2 ，
∴t的取值范圍是4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
故答案為：4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
（1）當點O′與點A重合時，即點O與點A重合，進一步解直角三角形AOB，利用軸對稱的現在解答即可；（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時，P的坐標即可．