Question

【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2，
（1）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．
（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s2（如圖2），則s2=；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為s3 ， 繼續操作下去…，則第10次剪取時，s10=；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1

如圖乙，設MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，

∴ ，

解得

∴

又∵

∴甲種剪法所得的正方形面積更大．

說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，S正方形OFDE=1．

解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1，

如圖乙，設MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，

則 ，

解得 ，

又∵ ，即EC＞MN．

∴甲種剪法所得的正方形面積更大

（2）解： ；
（3）解：解法1：探索規律可知：

剩余三角形面積和為2﹣（S1+S2+…+S10）=2﹣（1+ +…+ ）=

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為2﹣S1=1=S1

第二次剪取后剩余三角形面積和為 ，

第三次剪取后剩余三角形面積和為 ，

…

第十次剪取后剩余三角形面積和為

【解析】（1）分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積，進行比較即可；（2）按圖1中甲種剪法，可知后一個三角形的面積是前一個三角形的面積的 ，依此可知結果；（3）探索規律可知： ，依此規律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．