Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓O交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=1，BC=6，求半圓O的半徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠OBD．

∴∠ACB=∠ODB．

∴OD∥AC，

∴∠DEC=∠ODE．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，

∵DE過半徑OD的外端點D，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD．

∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=∠ADB=90°．

∵AB=AC，BC=6，

∴CD=BD= BC=3，

又∵∠ECD=∠DBA，

∴△CED∽△BDA，

∴ = ．

∵CE=1，

∴ = ．

∴AB=9，

∴半圓O的半徑的長為4.5．

【解析】（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；（2）連接AD．由AB為半圓O的直徑，得到∠ADB=90°，根據垂直的定義得到∠DEC=∠ADB=90°．根據等腰三角形的性質得到CD=BD= BC=3，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．