Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，且經過點A(0, ).

（1）若此拋物線經過點B（2，-），且與軸相交于點E、F.

①填空：b= （用含a的代數式表示）；

②當EF的值最小時，求出EF的最小值和拋物線的解析式；

（2）若，當，拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求b的值.

Answer 1

【答案】（1）①b=-2a-1；②EF有最小值，拋物線解析式為y=x2﹣3x+；（2）b的值為1或﹣5．

【解析】試題分析：（1）①由A點坐標可求得c，再把B點坐標代入可求得b與a的關系式，可求得答案；②用a可表示出拋物線解析式，令y=0可得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系可用a表示出EF的值，再利用函數性質可求得其取得最小值時a的值，可求得拋物線解析式；

（2）可用b表示出拋物線解析式，可求得其對稱軸為x=-b，由題意可得出當x=0、x=1或x=-b時，拋物線上的點可能離x軸最遠，可分別求得其函數值，得到關于b的方程，可求得b的值．

試題解析：（1）①∵拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，且經過點A（0， ），

∴c=，

∵拋物線經過點B（2，-），

∴-=4a+2b+，

∴b=-2a-1，

故答案為：-2a-1；

②由①可得拋物線解析式為y=ax2-（2a+1）x+，

令y=0可得ax2-（2a+1）x+=0，

∵△=（2a+1）2-4a×=4a2-2a+1=4（a-）2+＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根，設為x1、x2，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴EF2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2==（-1）2+3，

∴當a=1時，EF2有最小值，即EF有最小值，

∴拋物線解析式為y=x2-3x+；

（2）當a=時，拋物線解析式為y=x2+bx+，

∴拋物線對稱軸為x=-b，

∴只有當x=0、x=1或x=-b時，拋物線上的點才有可能離x軸最遠，

當x=0時，y=，當x=1時，y=+b+=2+b，當x=-b時，y=（-b）2+b（-b）+=-b2+，

①當|2+b|=3時，b=1或b=-5，且頂點不在范圍內，滿足條件；

②當|-b2+|=3時，b=±3，對稱軸為直線x=±3，不在范圍內，故不符合題意，

綜上可知b的值為1或-5．