Question

【題目】已知拋物線，其中.（1）直接寫出關于的一元二次方程的兩個根；

（2）試判斷：拋物線的頂點在第幾象限內；

（3）過點Ａ的直線y=x+m與拋物線相交于另一點Ｂ,拋物線的對稱軸與x軸相交于Ｃ.試問：在拋物線上是否存在一點Ｄ，使？若存在，求拋物線的表達式，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）x1=－1，x2=3 ； （2）在第一象限； （3）解析式為y=-x2+2x+3

【解析】試題分析：（1）由a-b+c=0，得一根為x=－1， 由對稱軸x=﹣=1，得到另一根為x=3．

（2）由a-b+c=0， b=-2a得c=﹣3a ，得到拋物線為：y=ax2-2ax-3a．

其頂點坐標為：（1，－4a），由a＜0，得到頂點A（1，－4a）在第一象限；

（3）由直線y=x+m過頂點A（1，﹣4a），得到m=－1﹣4a，從而得到直線解析式為y=x－1﹣4a，解方程 可得到點B坐標．

由得到點B與點D關于對稱軸x=1對稱，從而得到D的坐標．

把D的坐標代入拋物線 即可求出a的值，從而得到結論．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c，a-b+c=0，則一根為x=－1，

∵2a+b＝0，b=-2a，則對稱軸x=﹣=1，∴另一根為x=3．

（2）由a-b+c=0， b=-2a得c=﹣3a ，拋物線為：y=ax2-2ax-3a．

∵b＞0，c＞0，∴a＜0 頂點坐標為：（1，－4a），∵－4a＞0，則頂點A（1，－4a）在第一象限；

（3）∵直線y=x+m過頂點A（1，﹣4a），∴m=－1﹣4a，

∴直線解析式為y=x－1﹣4a，

聯立：

解得： ，

這里（1，﹣4a）為頂點A，（a+1，﹣3a）為點B坐標．

由知：點B與點D關于對稱軸x=1對稱，∴D（1－a， ﹣3a）．

∵D在拋物線 y=ax2-2ax-3a上，∴﹣3a＝a（1-a）2-2a（1-a）-3a．

a3-a=0，a=0，1，－1， 由a＜0得，a=－1，∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3．