Question

在美英聯軍發動的對伊拉克的戰爭中，美國使用了先進的偵察衛星．據報道，美國有多顆最先進的KH-1、KH-2“鎖眼”系列照相偵察衛星可以通過西亞地區上空，“鎖眼”系列照相偵察 衛星繞地球沿橢圓軌道運動，近地點265km（指衛星與地面的最近距離），遠地點650km（指衛星與地面的最遠距離），質量13.6-18.2t．這些照相偵察衛星上裝有先進的CCD數字照相機，能夠分辨出地面上0.1m大小的目標，并自動地將照片傳給地面接收站及指揮中心．由開普勒定律知道：如果衛星繞地球做圓周運動的圓軌道半徑跟橢圓軌道的半長軸相等，那么，衛星沿圓軌道的周期跟衛星沿橢圓軌道運動的周期相等．請你由上述數據估算這些“鎖眼”系列照相偵察衛星繞地球運動的周期和衛星在遠地點處的運動速率．地球的半徑R=6400km，g取10m/s²．（保留兩位有效數字）

Answer 1

設遠地點距地面h₁=650km，近地點距地面h₂=265km，遠地點距地心距離為r₁=h₁+R=7050km，
根據題意可知，衛星繞地球做勻速圓周運動的等效半徑為
r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km
設衛星繞地球運動的周期為T，根據萬有引力定律提供向心力有：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
  G

Mm

r12

=m

v2

r1

  ②
物體在地球表面的重力等于萬有引力，即G

Mm

R2

=mg  ③
由①③兩式可得T=

2πr

R

r g

代入數據T=

2×3.14×6.9×106

6.4×106

×

6.9×106 10

s=5.6×103s
由②③兩式可得v=R

g r1

=6.4×106×

10 7.0×106

m/s=7.6×103m/s
答：偵察衛星繞地球運動的周期為5.6×10³s，衛星在遠地點處的運動速率為7.6×10³m/s．