Question

【題目】簡諧運動是一種理想化的運動模型，是機械振動中最簡單、最基本的振動。它具有如下特點：

（1）簡諧運動的物體受到回復力的作用，回復力的大小與物體偏離平衡位置的位移大小成正比、方向與位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k為振動系數，其值由振動系統決定。

（2）簡諧運動是一種周期性運動，其周期與振動物體的質量的平方根成正比，與振動系統的振動系數的平方根成反比，而與振幅無關，即： 。

（1）如圖所示，一光滑的水平桿，在桿上穿有兩輕質彈簧，勁度系數分別為k1、k2，彈簧兩端固定于豎直墻上，中間系一質量為m的金屬小球，此時兩彈簧均處于原長，O為平衡位置。現將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置做簡諧運動。

a．寫出小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F合的表達式；

b．寫出小球做簡諧運動的周期T。

（2）一定質量的理想氣體，在溫度保持不變的條件下，其壓強與體積的乘積保持不變，即：PV =P＇V＇（玻意爾—馬略特定律）。如圖所示，一密閉長方體容器，導熱性能良好，中間有一質量為m的活塞，將容器分隔成體積相等的兩部分，且兩部分氣體完全相同，整個容器的溫度保持不變。已知氣體的壓強為P0，活塞到兩端的距離均為L，活塞的橫截面積為S，取向右為正方向。

a．現將活塞緩慢向右移到M位置，由靜止釋放，試求出活塞的位移為x時兩邊氣體的壓強P1和P2 比值；

b．證明：在振幅A遠小于L的條件下，活塞的運動可以看作簡諧運動。

Answer 1

【答案】（1）a．F合= -(k1+k2)xb． （2）a． b．見解析

【解析】（1）a．設小球向右偏離平衡位置的位移大小為x時，則此時右側彈簧壓縮，彈力為k2x，方向向左；左側彈簧伸長，彈力為kx1，方向向左，則合外力F合的表達式；F合= -(k1+k2)x；

b. 結合F回 = -kx，可知k=k1+k2，根據可得振子的周期： .

（2）a．對左邊氣體，由玻—馬定律得：P0LS=P1（L+x）S

所以

同理對右邊氣體，由玻—馬定律得：P0LS=P2（L-x）S

所以

所以

b．活塞在運動到距離平衡位置的位移為x時

F合=P1S - P2S= =

因為x遠小于L，所以F合= = =- kx

其中k=為一定值，所以在A遠小于L的條件下，活塞的運動可視為簡諧運動。