Question

【題目】如圖所示，在四棱錐S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，

(1)求證：CD⊥平面SAD．

(2)若SA＝SD，點M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1) 先證明CD⊥AD，再證明CD⊥平面SAD；（2）存在點N為SC的中點，連接PC，DM交于點O，連接DN，PM，SP，NM，ND，NO，先證明NO⊥平面ABCD，即證平面DMN⊥平面ABCD.

(1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD．

又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD．

(2)存在點N為SC的中點，使得平面DMN⊥平面ABCD．

證明如下：如圖，連接PC，DM交于點O，連接DN，PM，SP，NM，ND，NO，

因為PD∥CM，且PD＝CM，

所以四邊形PMCD為平行四邊形，

所以PO＝CO．

又因為點N為SC的中點，所以NO∥SP．

易知SP⊥AD，

因為平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD，

所以NO⊥平面ABCD．又因為NO平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD．