Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）證明：AD⊥BE．

Answer 1

【答案】證明：（1）取AB的中點F，連接DF，CF，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，
∴DF⊥CF，
∵DF=BC=2
又∵EC⊥平面ABC，既有：EC⊥FC，EC=2．
∴DFEC，故四邊形DEFC為平行四邊形，
∴DE∥FC
∴DE平面ABC，可得DE∥平面ABC．
（2）以FA，FC，FD為x，y，z軸的正方向建立直角坐標系，
則有：A（2，0，0），D（0，0，2），B（﹣2，0，0），E（0，2，2）
=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，2）
由于=0，
故AD⊥BE．

【解析】（1）取AB的中點F，連接DF，CF，由已知可證DFEC，可得四邊形DEFC為平行四邊形，可得DE∥FC，由DE平面ABC，從而可證DE∥平面ABC．
（2）以FA，FC，FD為x，y，z軸的正方向建立直角坐標系，求出向量 ， 的坐標，由=0，即可證明AD⊥BE．