Question

【題目】已知函數(shù)的最大值為.

（1）若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在函數(shù)的最小零點(diǎn)處取得極小值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）本小問(wèn)的解決方法是利用這個(gè)條件，得到含有的等式，對(duì)等式進(jìn)行變形處理，使得等式左邊是，右邊是分式。則求證目標(biāo)不等式等價(jià)于證等式右端的部分，運(yùn)用作差比較法構(gòu)造函數(shù)，對(duì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，即可證明原不等式；

（3）討論函數(shù)的單調(diào)性，取絕對(duì)值得到的分段形式，若證明，則證明，記，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證得.

詳解：（1），由，

得；由，得；

所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

所以，

不妨設(shè)，∴，

∴，

∴，∴，∴，

設(shè)，則，

所以，在上單調(diào)遞增，，則，

因，故，所以；

（2）由（1）可知，在區(qū)間單調(diào)遞增，又時(shí)，，

易知，在遞增，，

∴，且時(shí)，；時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

于是時(shí)，，

所以，若證明，則證明，

記，

則，

∵，∴，

∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，

∵，

∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴，

于是時(shí)，.

所以在遞減.

當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的.

所以在遞增.

故是的極小值點(diǎn).