Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）是否存在實數，使得“對任意恒成立”？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；實數的取值范圍是

【解析】

對函數進行求導,分和兩種情況分別利用導數判斷函數的單調性即可;

假設存在實數，使得“恒成立”，對函數進行求導,分和兩種情況判斷函數在上的單調性并判斷函數在上的最小值是否為非負.

（1）由題意知,，

則，

當時，，所以函數在上單調遞增；

當時，令，得，

所以當時，，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增；

（2）假設存在實數，使得“恒成立”，

因為函數，所以，

因為，

所以當，即時，在上恒成立,

所以函數在上單調遞增，

又，

所以當時，對于任意，有恒成立；

當，即時，令，得，

解得（其中），

所以，

所以函數在上單調遞減，

又，所以當不符合題意，

綜上可知，存在實數使得“對任意恒成立”，

符合題意的實數的取值范圍為.