Question

【題目】為了了解某年齡段人群的午休睡眠質量，隨機抽取了1000名該年齡段的人作為被調查者，統計了他們的午休睡眠時間，得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）求這1000名被調查者的午休平均睡眠時間；(同一組中數據用該組區間中點作代表)

（2）由直方圖可以認為被調查者的午休睡眠時間服從正態分布，其中，分別取被調查者的平均午休睡眠時間和方差，那么這1000名被調查者中午休睡眠時間低于43.91分鐘(含43.91)的人數估計有多少？

（3）如果用這1000名被調查者的午休睡眠情況來估計某市該年齡段所有人的午休睡眠情況，現從全市所有該年齡段人中隨機抽取2人(午休睡眠時間不高于43.91分鐘)和3人(午休睡眠時間不低于73.09分鐘)進行訪談后，再從抽取的這5人中推薦3人作為代表進行總結性發言，設推薦出的代表者午休睡眠時間均不高于43.91分鐘的人數為，求的分布列和數學期望.

附：①，.②，則；；.

Answer 1

【答案】（1）.（2）(人).（3）分布列答案見解析，數學期望為

【解析】

（1）由頻率分布直方圖求出各組的概率，按照平均數公式求解；

（2）由（1）和已知可得，服從正態分布中，，，根據正態分布的對稱性，求出中午休睡眠時間低于43.91分鐘的概率，即可求出結論；

（3）的可能值為0，1，2，求出對應值的概率，列出隨機變量分布列，再由期望公式，即可求解.

（1）由題意知，第一組至第六組的中間值分別為35，45，55，65，75，85；

對應的概率值為0.1，0.2，0.3，0.15，0.15，0.1；

.

所以，這1000名被調查者的午休平均睡眠時間.

（2）因為服從正態分布，，

所以，

所以這1000名被調查者中午休睡眠時間低于43.91分鐘(含43.91)的人數估計有(人).

（3）的可能值為0，1，2，

，，

，

故的分布列為

	0	1	2

所以，.