Question

已知點A（3，2），直線l₁：x+2y-3=0．求：
（1）過點A與l₁垂直的直線方程；
（2）求過點A的直線與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積的最小值及此時的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由于直線l₁的斜率為-

1

2

，故所求的直線的斜率等于2，用點斜式求得所求直線的方程．
（2）設過A點的直線方程為：y-2=k（x-3），求出直線和坐標軸的交點，由題意求得k＜0，所求三角形的面積為：

1

2

×(12-9k-

4

k

)，利用基本不等式求出三角形面積的最小值，并求出此時的k的值，從而求得此時直線的方程．

解答：解：（1）直線l₁的斜率為-

1

2

，故所求的直線的斜率等于2，
所以，所求直線方程為：y-2=2（x-3），即 2x-y-4=0．
（2）設過A點的直線方程為：y-2=k（x-3），則直線與x軸正半軸交點的坐標為(3-

2

k

，0)，
與y軸正半軸交點的坐標為（0，2-3k）．
根據題意有

3- 2 k ＞0 2-3k＞0

，解得k＜0．
此時，所求三角形的面積為：

1

2

|3-

2

k

|•|2-3k|=

1

2

×(12-9k-

4

k

)．
又 -9k-

4

k

≥2

(-9k)×(- 4 k )

=12，當且僅當-9k=

4

-k

時，取等號．
所以三角形面積的最小值為：

1

2

×[12+(-9k-

4

k

)]=

1

2

×(12+12)=12．
此時-

4

k

=-9k即k=-

2

3

．此時直線的方程為：2x+3y-12=0．

點評：本題主要考查兩直線垂直的性質，用點斜式求直線方程，基本不等式的應用，屬于中檔題．