Question

已知點A（3，2），F是雙曲線x2-

y2

3

=1的右焦點，若雙曲線上有一點P，使|PA|+

1

2

|PF|最小，則點P的坐標為（　　）

• A、(-

  21

  3

  ，2)
• B、(

  21

  3

  ，2)
• C、(3，2

  6

  )
• D、(-3，2

  6

  )

Answer 1

分析：由題意可得離心率等于

c

a

=2，設點P到右準線的距離等于|PM|，則 |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，故P、M、A三點共線時，|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，故點P的縱坐標為2，把把y=2 代入雙曲線求得正值x即為點P的橫坐標．

解答：解：由題意可得右焦點F（2，0），離心率等于

c

a

=

2

1

=2，設點P到右準線的距離等于|PM|，
則由雙曲線的定義可得

|PF|

|PM|

=2，故  |PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，當 |PA|+

1

2

|PF|取得最小值時，
P、M、A三點共線，故點P的縱坐標為 2，把y=2 代入雙曲線x2-

y2

3

=1求得正值x=

21

3

，
故點P的坐標為 (

21

3

，2)，
故選B．

點評：本題考查雙曲線的定義、標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷P、M、A三點共線時，
|PA|+

1

2

|PF|取得最小值，是解題的關鍵．