Question

【題目】為建設美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（圖中陰影部分），以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界線符合函數(shù)y=x+ （x＞0）模型，園區(qū)服務中心P在x軸正半軸上，PO= 百米．
（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；
（2）若在線段DE上設置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道PQ最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，x+ ），則|OM|2=x2+（x+ ）2=2x2+ +2≥2 +2，

當且僅當2x2= 即x2= 時取等號，

∴|OM|的最短距離為

（2）解：過P作函數(shù)y=x+ 的切線l，設切線l的方程為y=k（x﹣ ）（k＜0），

聯(lián)立方程組 ，得（1﹣k）x2+ x+1=0，

令△= k2﹣4（1﹣k）=0得k=﹣3或k= （舍），

∴直線l的方程為y=﹣3（x﹣ ），

令y=5得x=﹣ ，

∴DQ=6﹣ = ．

∴當|DQ|= 時，通道PQ最短

【解析】（1）設M（x，x+ ），利用距離公式得出|OM|2關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值即可；（2）當直線PQ與湖邊界相切時，通道最短，設出切線方程，與邊界函數(shù)聯(lián)立，令△=0即可得出切線方程，從而確定Q點的位置．