Question

【題目】已知函數 ， ．
（I）求 的單調區間；
（II）若對任意的 ，都有 ，求實數 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I） ， 當 時， 恒成立，則 在 上單調遞增；當 時，令 ，則 ．則 在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減．

（II） ， 等價于 .令 ，則 ．

令 ，則 ．

因為當 ， 恒成立，

所以 在 上單調遞減．

又 ，可得 和 在 上的情況如下：

	+	0	-
	單調遞增		單調遞減

所以 在 上的最大值為 ．

因此 ， 等價于 ．

故 ， 時，實數 的取值范圍是 ．

【解析】(1)根據題意求出導函數利用導函數的性質即可得到原函數的單調性。(2)根據題意 x ∈ ( 0 , + ∞ ) ， f ( x ) ≤ 2 a 2 等價,構造函數 g ( x )，對其求導利用導函數的性質能求出 x ∈ ( 0 , + ∞ ) ， f ( x ) ≤ 2 a 2 時，即可求出a的取值范圍。
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．