Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x2﹣lnx+x，f（1）=2，此時點A（1，2）， ， ∴切線的斜率k=f′（1）=2，
∴切線方程為：y﹣2=2（x﹣1），
即y=2x
（Ⅱ）由題意知：f（x）的定義域為（0，+∞），
令g（x）=2x2+x﹣a（x＞0）
（i）當△=1+8a≤0，即 時，g（x）≥0，
∴x∈（0，+∞），f′（x）≥0，
∴f（x）為（0，+∞）的單調遞增函數；
（ii）當△=1+8a＞0，即 時，此時g（x）=0有兩個根： ，
①若 時，f′（x）≥0，x∈（0，+∞）
②若 a＞0時，當 ；
當
綜上可知：（i）當 時時，f（x）為（0，+∞）的單調遞增函數；
（ii）當 時，f（x）的減區間是 ，增區間是
【解析】（Ⅰ）求導函數，可得切線的斜率，求出切點坐標，利用點斜式可得切線方程；（Ⅱ）確定函數的定義域，求導函數，分類討論，利用導數的正負，可討論函數y=f（x）的單調性．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．