Question

【題目】為了研究學生的數學核素養與抽象（能力指標x）、推理（能力指標y）、建模（能力指標z）的相關性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標w=x+y+z的值評定學生的數學核心素養；若w≥7，則數學核心素養為一級；若5≤w≤6，則數學核心素養為二級；若3≤w≤4，則數學核心素養為三級，為了了解某校學生的數學核素養，調查人員隨機訪問了某校10名學生，得到如下結果：

學生編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（2，2，3）	（3，2，3）	（3，3，3）	（1，2，2）	（2，3，2）	（2，3，3）	（2，2，2）	（2，3，3）	（2，1，1）	（2，2，2）

（1）在這10名學生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同的概率；
（2）從數學核心素養等級是一級的學生中任取一人，其綜合指標為a，從數學核心素養等級不是一級的學生中任取一人，其綜合指標為b，記隨機變量X=a﹣b，求隨機變量X的分布列及其數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知：建模能力一級的學生是A9；建模能力二級的學生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三級的學生是A1，A3，A6，A8．

記“所取的兩人的建模能力指標相同”為事件A，

則 ．

（2）解：由題可知，數學核心素養一級：A1，A2，A3，A5，A6，A8，數學核心素養不是一級的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值為1，2，3，4，5. ； ； ； ； ．

∴隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P

∴ = ．

【解析】（1）由題可知：建模能力一級的學生是A9；建模能力二級的學生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三級的學生是A1，A3，A6，A8．記“所取的兩人的建模能力指標相同”為事件A，利用互斥事件與古典概率計算公式即可得出，P（A）．（2）由題可知，數學核心素養一級：A1，A2，A3，A5，A6，A8，數學核心素養不是一級的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值為1，2，3，4，5．利用相互獨立事件、互斥事件與古典概率計算公式即可得出P（X=k）及其分布列與數學期望．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．