Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax，g（x）= +a．
（1）當a=2 時，求F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，2]的最大值；
（2）討論函數F（x）=f（x）﹣g（x） 的單調性；
（3）若f（x）g（x）≤0 在定義域內恒成立，求實數a的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時，F（x）=lnx﹣2x﹣ ﹣2，

F′（x）= = ，

F（x）在（0，1）內遞增，在（1，2）遞減，

故F（x）在x=1取最大值﹣5；

（2）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣ ﹣a，

F′（x）= ，

①a≤0時，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）遞增，

②a＞0時，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令F′（x）＜0，解得：x＞ ，

故F（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減；

（3）解：若f（x）g（x）≤0 在定義域內恒成立，

①f（x）≤0，g（x）≥0同時恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax≤0，a≥ 恒成立，

令h（x）= ，h′（x）= ，

令h′（x）＞0，解得：x＜e，令h′（x）＜0，解得：x＞e，

故h（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，

故h（x）max=h（e）= ，故a≥ ；

②f（x）≥0，g（x）≤0同時恒成立，a不存在，

③a＜0時，f（x）=lnx﹣ax遞增，g（x）= +a遞減，

若它們有共同零點，則f（x）g（x）≤0恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax=0，g（x）= +a=0聯立方程組解得：a=﹣e，

綜上，a≥ 或a=﹣e．

【解析】（1）求出函數的導數，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（3）問題轉化為f（x）≤0，g（x）≥0同時恒成立，f（x）≥0，g（x）≤0同時恒成立，a不存在，③a＜0時，f（x）=lnx﹣ax遞增，g（x）遞減，求出a的值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．