Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P的坐標為（2，

3

），且F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-

1

2

）²+y²=r²被橢圓C所覆蓋，求圓的半徑r的最大值．

Answer 1

（1）橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，
其中c=

a2-b2

，橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），又點F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設P（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，
則

x 20

2

+

y

20

=1，|PE|=

( x 0 - 1 2 )2+ y 20

，∵

y

20

=1-

x 20

2

，
∴|PE|=

( x 0 - 1 2 )2+1- x 20 2

=

1 2 x 20 - x 0 + 5 4

（-

2

≤

x

0

≤

2

）．
當x₀=1時，|PE|_min=

1 2 -1+ 5 4

=

3

2

，
∴半徑r的最大值為

3

2

．