Question

【題目】已知數列， 都是單調遞增數列，若將這兩個數列的項按由小到大的順序排成一列（相同的項視為一項），則得到一個新數列.

（1）設數列、分別為等差、等比數列，若， ， ，求；

（2）設的首項為1，各項為正整數， ，若新數列是等差數列，求數列 的前項和；

（3）設（是不小于2的正整數），，是否存在等差數列，使得對任意的，在與之間數列的項數總是？若存在，請給出一個滿足題意的等差數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）49；（2）或；（3）首項，公差的等差數列符合題意.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得 ；

(2)由題意可得等比數列的項都是等差數列中的項，所以. 數列的前項和或.

(3) 存在等差數列，只需首項，公差.利用題中的結論可證得此命題成立.

試題解析：

解：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，

由題意得， ，解得或，因數列單調遞增，

所以，所以， ，所以， . 因為， ， ， ，

所以.

（2）設等差數列的公差為，又，且，

所以，所以. 因為是中的項，所以設，即.

當時，解得，不滿足各項為正整數；

當時， ，此時，只需取，而等比數列的項都是等差數列中的項，所以；

當時， ，此時，只需取，

由，得， 是奇數， 是正偶數， 有正整數解，

所以等比數列的項都是等差數列中的項，所以. 綜上所述，數列的前項和或.

（3）存在等差數列，只需首項，公差.

下證與之間數列的項數為. 即證對任意正整數，都有，

即成立.

由，

.

所以首項，公差的等差數列符合題意.