Question

【題目】已知橢圓： ，左焦點是.

（1）若左焦點與橢圓的短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上.求橢圓的方程；

（2）過原點且斜率為的直線與（1）中的橢圓交于不同的兩點，設，求四邊形的面積取得最大值時直線的方程；

（3）過左焦點的直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，其中是常數(shù)，設， ，計算的值（用的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：(1)利用已知條件列方程組求出 的值,從而求出橢圓的標準方程; (2)設直線 的方程 ,聯(lián)立直線和橢圓方程,求出 ,分別求出點 到直線的距離,求出四邊形 的面積,利用基本不等式求出最大值得到 ,再求出直線 的方程; (3)設直線 的方程為 ,聯(lián)立直線和橢圓方程,求出兩根之和,兩根之積, 由向量共線求出 的表達式,代入化簡,求出 的值.

試題解析:（1） ， 所以橢圓方程

（2）設直線的方程

聯(lián)立，可以計算

，

所以直線的方程是

（3）設直線的方程交橢圓于

直線交直線于點，根據(jù)題設， 得到

， ，

得，

點睛: 本題主要考查了求橢圓的方程, 四邊形面積的計算, 以及求參數(shù)的值, 屬于中檔題. 本題涉及的考點有橢圓標準方程，點到直線距離公式，基本不等式，向量共線定理等，考查學生的運算求解能力以及分析問題、解決問題的能力.