Question

【題目】已知函數(shù) (為常數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）當(dāng)， 時(shí)，對(duì)任意的都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）第一步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步再設(shè)，并且求以及時(shí)， ，分析函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的取值范圍，并且根據(jù) ，討論和函數(shù)的極值以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系，得到函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）不等式等價(jià)于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范圍.

試題解析：（Ⅰ） 時(shí)， ，記，

則， ，

當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 取得極小值，又， ，

，所以

（ⅰ）當(dāng),即時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)即時(shí)， 有兩不同解，

函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（ⅲ）當(dāng)即時(shí)， 有一解，

函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)極值點(diǎn)；

（ⅳ）當(dāng)即時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上

無極值點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都有，

即，即

記， ，

由，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值，

又，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值，

所以只需要 ，即正實(shí)數(shù)的取值范圍是．