Question

【題目】已知曲線上的點到點的距離比到直線的距離小，為坐標原點.

（1）過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點，求的面積；

（2）設為曲線上任意一點，點，是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線存在，其方程為，定值為.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可求得曲線的方程，由題意可得直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可求得的面積；

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，并設點，求出以為直徑的圓的方程，將代入圓的方程，求出弦長的表達式，進而可求得的值，由此可求得直線的方程.

（1）依題意得，曲線上的點到點的距離與到直線的距離相等，

所以曲線的方程為：.

過點且傾斜角為的直線方程為，

設，，聯立，得，

則，，則；

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，設點，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線代入，得，

則，

設直線與以為直徑的圓的交點為、，

則，，

于是有，

當，即時，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.